Skip to main content Link Menu Expand (external link) Document Search Copy Copied
Sebuah Web site

Bentuk Umum

Bentuk Derivative

\[\bbox[5px, border: 2px solid red]{\frac{dy}{dx}=f(x,y)}\]

Bentuk Differensial

\[\bbox[5px, border: 2px solid red]{M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}\]

Contoh

Persamaan dalam bentuk derivative

\[\frac{dy}{dx}=2xy\]

Persamaan dalam dbntuk differensial

\[2xdx+ydy=0\]

Persamaan Diferensial Eksak

Definisi Diferensial Total

Diberikan \(f\) fungsi bernilai real atas dua variabel x dan y yang mempunyai turunan partial pertama kontibu pada domain D.

Diferensial total \(dF\) fungsi \(F\) didefinisikan sebagai berikut:

\[\bbox[5px, border: 2px solid red]{dF(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y}dy}\]

untuk semua \((x,y) \in D\)

Contoh: \(F(x,y) = xy^2 + 2x^3y\)

Diperoleh

\(\frac{\partial F}{\partial x}=y^2+6x^2y\) dan \(\frac{\partial F}{\partial y}= 2xy+2x^3\)

sehingga \(dF(x,y)=(y^2+6x^2y)dx+(2xy+2x^3)dy\)

untuk semua (x,y) dalam pasangan bilangan real

Definisi Diferensial Total

Bentuk \(\bbox[5px, border: 2px solid red]{M(x,y)dx+N(x,y)dy}\) disebut persamaan diferensial eksak jika terdapat fungsi F atas dua variabel x dan y sedemikian sehingga bentuk tersebut sama dengan diferensial total dari fungsi tersebut.

Ciri-Ciri Diferensial Eksak

Jika \(\bbox[5px, border: 2px solid red]{\frac{\partial M}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial N}{\partial x}(x,y)}\) dengan \(\bbox[5px, border: 2px solid red]{M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}\) maka PD tersebut merupakan PD eksak

Faktor Integrasi

Jika terdapat \(\mu (x,y)\) sedemikian sehingga mengakibatkan PD tidak eksak, menjadi PD eksak atau \(\bbox[5px, border: 2px solid red]{\frac{\partial M}{\partial y}(x,y)\neq \frac{\partial N}{\partial x}(x,y)}\) menjadi \(\bbox[5px, border: 2px solid red]{\mu (x,y) \frac{\partial M}{\partial y}(x,y) = \mu (x,y) \frac{\partial N}{\partial x}(x,y)}\) maka \(\mu (x,y)\) tersebut merupakan faktor integrasi

Mencari Faktor Integrasi

\[\bbox[5px, border: 2px solid red] {\mu (x)= e^{\int{\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}dx}}}\]

atau

\[\bbox[5px, border: 2px solid red] {\mu (y)= e^{\int{\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}dy}}}\]

Persamaan Diferensial Separable

Yaitu persamaan diferensial dalam bentuk \(\bbox[5px, border: 2px solid red] {F(x)G(y)dx + f(x)g(y)dy}\)

Solusi PD Separable

Kalikan kedua ruas dengan faktor integrasi \(\bbox[5px, border: 2px solid red]{\frac{1}{f(x)G(y)}}\) dengan f(x) dan G(y) tdk sama dengan 0. Sehingga didapat \(\bbox[5px, border: 2px solid red]{\frac{F(x)}{f(x)}dx +\frac{g(y)}{G(y)}dy=0}\)

Karena \(\bbox[5px, border: 2px solid red]{\frac{F(x)}{f(x)}dx=0=\frac{g(y)}{G(x)}}\) maka PD tersebut dapat dicari solusinya.

Persamaan Diferensial Homogen

Persamaan diferensial orde satu \(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\) dikatakan dalam bentuk derivatif \(\frac{dy}{dx}=f(x,y)\) maka terdapat suatu fungsi g sedemikian sehingga f(x,y) dapat dinyatakan dalam bentuk \(g(\frac{y}{x})\)

Solusi PD Homogen

Dengan perubahan variabel y=vx, akan mentransformasi PD homogen menjadi PD separable dalam variabel x dan v.

Persamaan Diferensial Linear

Yaitu suatu persamaan diferensial biasa orde satu yang dapat dinyatakan dalam bentuk derivatif

\[\bbox[5px, border: 2px solid red] {\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)}\]

atau dalam bentuk diferensial

\[\bbox[5px, border: 2px solid red] {[P(x)y-Q(x)]dx+dy=0}\]

Persamaan Diferensial Bernoulli

Yaitu persamaan diferensial dalam bentuk

\[\bbox[5px, border: 2px solid red] {\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n}\]

Persamaan Diferensial Orde Tinggi

Persamaan diferensial biasa orde-n dengan x variabel independen dan y variabel dependen adalah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

\[\bbox[5px, border: 2px solid red] {a_0(x)\frac{d^ny}{dx^n}+a_1(x)\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}(x)\frac{dy}{dx}+a_n(x)y=F(x)}\]

dengan \(a_0(x)\neq0\)

Untuk \(F(x)=0\) disebut dengan PD linear orde-n homogen.

Untuk \(F(x)\neq0\) disebut dengan PD linear orde-n nonhomogen.

Bebas Linear

n buah fungsi, \(f_1,f_2,\cdots,f_n\) disebut bebas linear pada \(a\leq x\leq b\) jika hubungan

\[\bbox[5px, border: 2px solid red]{c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+\cdots+c_nf_n(x)=0}\]

untuk semua x pada intercal dipenuhi hanya untuk

\[\bbox[5px, border: 2px solid red]{c_1=c_2=\cdots=c_n=0}\]

Jika terdapat \(c_i\neq 0\) yang memenuhi hubungan tersebut, maka fungsi tersebut dikatakan bergantung linear.

Wronskian

Jika

\[\bbox[5px, border: 2px solid red]{ det \begin{bmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x)\\ f^`_1(x) & f^`_2(x) & \cdots & f^`_n(x)\\ & \cdots & & \\ f^{n-1}_1(x) & f^{n-1}_2(x) & \cdots & f^{n-1}_n(x) \end{bmatrix} \neq 0}\]

Maka ke-n fungsi tersebut bebas linear

Persamaan Diferensial Orde Tinggi Koefisien Konstan

\[\bbox[5px, border: 2px solid red] {a_0(x)\frac{d^ny}{dx^n}+a_1(x)\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}(x)\frac{dy}{dx}+a_n(x)y=0}\]

Dapat disebut dengan PD linear orde-n homogen

Untuk mencari penyelesaian, dapat digunakan persamaan karakteristik, yaitu dengan memisalkan

\[\bbox[5px, border: 2px solid red]{\frac{dy}{dx}=my,\ \ \ \frac{d^2y}{dx^2}=m^2y,\ \ \ \cdots,\ \ \ \frac{d^ky}{dx^k}=m^ky}\]

  1. Akar Berlainan Misalkan akar-akar yaitu: \(m_1,m_2,\cdots,m_n\)

    Maka diperoleh solusi berbeda, yaitu \(e^{m_1x},e^{m_2x},\cdots,e^{m_nx}\)

    Untuk mengetahui apakah n solusi saling bebas linear, digunakan determinan matriks wronskiannya.

    \[\bbox[5px, border: 2px solid red]{W=det \begin{bmatrix} e^{m_1x} & e^{m_2x} & \cdots & e^{m_nx}\\ m_1e^{m_1x} & m_2e^{m_2x} & \cdots & m_ne^{m_nx}\\ & \cdots & & \\ m_1^{n-1}e^{m_1x} & m^{n-1}_2e^{m_2x} & \cdots & m^{n-1}_ne^{m_1x} \end{bmatrix} \neq 0}\]
  2. Akar Kembar
    • Jika akar persamaan karakteristik m muncul sebanyak k kali, maka solusi umum yang bersesuaian dengan akar adalah
    \[y=(c_1+c_2x+c_3x^2+\cdots+c_kx^{k-1})e^mx\]
    • Jika akar-akar kembar yang lain merupakan akar yang berlainan \(m_{k+1},\cdots,m_n\) maka solusi umumnya adalah
    \[y=(c_1+c_2x+c_3x^2+\cdots+c_kx^{k-1})e^{mx}+c_{k+1}e^{m_{k+1}x}+\cdots+c_ne^{m_nx}\]
    • Jika akar-akar yang lain juga terdapat akar kembar, maka solusi umum yang bersesuaian dengan akar ini dinyatakan ekuivalen dengan cara bagian 1.

  3. Akar Komplek

    Jika \(m_{1,2}=a\pm bi\), maka

    $\bbox[5px, border: 2px solid red]{y_1=e^{ax}(c_1\sin(bx)+c_2\cos(bx))}$

    Jika $a+bi$ dan $a-bi$ merupakan akar karakteristik yang berulang k-kali, maka solusi yang bersesuaian adalah

    \[\bbox[5px, border: 2px solid red] {\begin{align*} y_2=e^{ax} [(c_1+c_2x+\cdots+c_kx^{k-1})&\sin(bx)\\ +(c_{k+1}+c_{k+2}x+\cdots+c_{2k}x^{k-1})&\cos(bx)] \end{align*}}\]

Persamaan Diferensial Orde Tinggi Variasi Parameter

\[{a_0(x)\frac{d^ny}{dx^n}+a_1(x)\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}(x)\frac{dy}{dx}+a_n(x)y=F(x)}\]

dengan $F(x)\neq 0$ disebut dengan PD nonhomogen.

Solusi umum dari PD Nonhomogen dapat dinyatakan dalam bentuk

$\bbox[5px, border: 2px solid red]{y=y_c+y_p}$

dengan $y_c$ adalah solusi umum bagian homogen $y_p$ adalah solusi khusus

$y_c(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$

$y_p(x)=v_1y_1(x)+v_2y_2(x)$

\[v_1(x)=-\int \frac{F(x)y_1(x)}{a_0W[y_1(x),y_2(x)]} dx,\ \ \ \ \ v_2(x)=\int \frac{F(x)y_2(x)}{a_0W[y_1(x),y_2(x)]}dx\]

Persamaan Diferensial Orde Tinggi Cauchy-Euler

 UC $function$UC $set$
1$x^n$\(\{x^n,x^{n-1},x^{n-2},\cdots,x,1\}\)
2$e^{ax}$\(\{e^{ax}\}\)
3$\sin(bx+c)$ atau $\cos(bx+c)$\(\{\sin(bx+c),\cos(bx+c)\}\)
4$x^ne^{ax}$\(\{x^ne^{ax},x^{n-1}e^{ax},x^{n-2}e^{ax},\cdots,xe^{ax},e^{ax}\}\)
5$x^n\sin(bx_c)$ atau $x^n\cos(bx_c)$\(\begin{align*} \{ & x^n\sin(bx+c),x^n \cos(bx+c),\\&x^{n-1}\sin(bx+c),x^{n-1}\cos(bx+c),\\ &\cdots,x\sin(bx+c),x\cos(bx+c),\\ &\sin(bx+c),\cos(bx+c)\} \end{align*}\)
6$x^n\sin(bx+c),x^n\cos(bx+c)$\(\{e^{ax}\sin(bx+c),e^{ax}\cos(bx+c)\}\)
7$x^ne^{ax}\sin(bx_c)$ atau $x^ne^{ax}\cos(bx_c)$\(\begin{align*} \{ & x^ne^{ax}\sin(bx+c),x^ne^{ax} \cos(bx+c),\\&x^{n-1}e^{ax}\sin(bx+c),x^{n-1}e^{ax}\cos(bx+c),\\ &\cdots,xe^{ax}\sin(bx+c),xe^{ax}\cos(bx+c),\\ &e^{ax}\sin(bx+c),e^{ax}\cos(bx+c)\} \end{align*}\)

Table of contents