Kumpulan Rumus Matematika Remastered

Eksponen

1. $$ a^n = \underbrace{a \times a\times ... \times a}_{\text{(n kali)}} $$
2. $$ a^0 = 1, a\neq 0 $$
3. $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$
4. $$a^m a^n = a^{m+n}$$
5. $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$
6. $$(ab)^n= a^n b^n$$
7. $$\Big(\frac{a}{b} \Big)^n=\frac{a^n}{b^n}$$
8. $$(a^m)^n=a^{mn}$$
9. $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Aljabar

1. $$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$$
2. $$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$$
3. $$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$
4. $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
5. $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$
6. $$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$
7. $$(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)$$
8. $$a^3+b^3+c^3-3abc$$$$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$$
9. $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$$
10. $$\sqrt{(a+b)\pm 2\sqrt{ab}}=\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$$

Pertidaksamaan

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

Jika \(a > b\), maka

1. \(a \pm p > b \pm p\)
2. \(ap > bp\) untuk \(p\) positif
3. \(ap < bp\) untuk \(p\) negatif (tanda berubah)

Jika \(a > b > 0\), maka

1. \(a^2 > b^2\)
2. $$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$$

Penyelesaian Pertidaksamaan

1. Tentukan \(\text{HP}_1\) dari syarat fungsi
2. Nol kan ruas kanan
3. Tentukan pembuat nol
4. Tulis ke dalam garis bilangan
5. Lakukan uji titik pada selang batas-batas pembuat nol
6. \(\text{HP}_2\) berada pada:
• Jika \(f(x)>0\), maka ada pada selang positif
• Jika \(f(x)<0\), maka ada pada selang negatif
7. \(\text{HP}=\text{HP}_1 \cap \text{HP}_2\)

Bentuk Akar

$$\sqrt{a} > \sqrt{b}$$

1. Syarat domain, \(a\geq 0\) dan \(b \geq 0\)
2. Kuadratkan kedua ruas
3. \(\text{HP}=\text{HP}_1 \cap \text{HP}_2\)

Harga Mutlak

$$|x|=\begin{cases}x, & \text{untuk } x\geq 0 \\ -x, &\text{untuk }x < 0 \end{cases}$$

1. \(|x|< a \leftrightarrow -a < x <a \)
2. \(|x|>a \leftrightarrow x>a \cup x<-a\)

Cara lain, yaitu dengan meng-kuadrat-kan kedua ruas:

$$\begin{align}|x|& >|y| \\ x^2 & >y^2\\x^2-y^2& >0\\(x+y)(x-y)& >0 \end{align}$$

Pertidaksamaan Eksponen

$$a^{f(x)}>a^{g(x)}$$

Jika \(a>1\), maka \(f(x)>g(x)\)

Jika \(0 < a < 1\), maka \(f(x) < g(x)\)

Pertidaksamaan Logaritma

$$\log_{a}{f(x)} > \log_{a}{g(x)}$$

Jika \(a > 1\), maka \(f(x) > g(x)\)

Jika \(0 < a < 1\), maka \(f(x) < g(x)\)

Persamaan Garis

Persamaan Garis

1. \(y=mx+c\)
2. $$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$
3. \(y-y_1=m(x-x_1)\)

Gradien \((m)\)

Kemiringan suatu garis

1. \(y=mx+c\), gradien= \(m\)
2. \(ax+by+c=0\),
   maka \(m=\dfrac{-a}{b}\)
3. Jika diketahui 2 titik, maka \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
4. Jika diketahui sudut, maka \(m=tg \alpha\)

Hubungan Antar Garis

Jika terdapat 2 persamaan garis:
\(y=m_1x+c_1\)
\(y=m_2x+c_2\)

• Sejajar: \(m_1=m_2\)
• Tegak lurus: \(m_1m_2=-1\)
• Berpotongan: \(tg \alpha = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|\)

Jarak Titik ke Garis

Jarak titik \((x_1,y_1)\) ke garis \(ax+by+c=0\) $$d=\left|\frac{ax_1+by_1+C}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$$

Fungsi Kuadrat

Bentuk Umum

$$y=f(x)=ax^2+bx+c, a\neq 0$$

Titik Puncak/Ekstrim/Min/Maks

$$(x_p,y_p)=\left(\frac{-b}{2a},\frac{D}{-4a}\right)$$

\(x_p=\) sumbu simetri
\(y_p=\) nilai ekstrim
\(x=\) absis

\(y=\) ordinat

Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat

Jika diketahui:

• Tiga titik sembarang
  \(y=ax^2+bx+c\)
  (eliminasi)
• Titik puncak
  \(y-y_p=a(x-x_p)^2\)
• Titik potong dengan sumbu \(x\)
  \(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Hubungan \(a,b,c\) dan \(D\) terhadap kurva

Nilai \(a\)

Nilai \(b\)

Nilai \(c\)*

• \(c > 0\) memotong sumbub \(y\) positif
• \(c < 0\) memotong sumbub \(y\) negatif
• \(c = 0\) memotong sumbub \(y\) di 0

* ketika parabola memotong sumbu \(y\), maka \(x=0\), sehingga \(y=c\)

Nilai \(D\)

• \(D>0\) memotong sumbu \(x\)
• \(D=0\) menyinggung sumbu \(x\)
• \(D<0\) tidak memotong sumbu \(x\)

Note: Untuk mengetahui hubungan antara garis dengan parabola, subtitusi persamaan garis ke dalam parabola, tentukan nilai \(D\)

Definit

Definit positif: \(a > 0\) dan \(D < 0\)

Definit negatif: \(a < 0\) dan \(D < 0\)

Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum

$$ax^2+bx+c=0,\ a \neq 0$$

Akar-Akar Persamaan Kuadrat

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

• \(D=b^2-4ac\)
• \(D>0:\) Akar riil berbeda
• \(D=0:\) Akar riil kembar
• \(D<0:\) Akar imajiner

Operasi Akar-Akar

• $$x_1+x_2=\frac{-b}{a}$$
• $$x_1x_2=\frac{c}{a}$$
• $$x_1-x_2=\pm \frac{\sqrt{D}}{a}$$
• $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2 x_1 x_2$$
• $$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$$
• $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$
• $$x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)$$

Sifat Akar-Akar

• Dua akar positif
  $$x_1+x_2>0 ;\ x_1x_2>0;\ D\geq 0$$
• Dua akar negatif
  $$x_1+x_2<0 ;\ x_1x_2>0;\ D\geq 0$$
• Saling berlawanan
  $$x_1x_2<0 ;\ D> 0$$
• Saling berkebalikan
  $$x_1x_2=1;D> 0$$

Persamaan Kuadrat Baru

Menyelesaikan pers. kuadrat baru

1. Misalkan akar-akar barunya \(p\) dan \(q\)
2. Tentukan \(p+q\)
3. Tentukan \(pq\)
4. Subtitusi ke dalam pers. kuadrat baru $$x^2-(p+q)x+pq=0$$

Lingkaran

Persamaan Lingkaran

• Berpusat di \((0,0)\): \(x^2+y^2=R^2\)
• Berpusat di \((a,b)\): \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\)
• Umum: \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\)
  Pusat\(=\left(\dfrac{-A}{2},\dfrac{-B}{2}\right),R=\sqrt{\dfrac{A^2}{4}+\dfrac{B^2}{4}-C}\)

Hubungan Garis dan Lingkaran

Subtitusi persamaan garis ke lingkaran

• Berpotongan di 2 titik: \(D>0\)
• Bersinggungan: \(D=0\)
• Tidak berpotongan: \(D < 0\)

Persamaan Garis Singgung

1. PGSL untuk \(x^2+y^2=R^2\)
• \(x_1x+y_1y=R^2\)
• \(y=mx\pm R\sqrt{m^2+1} \)
2. PGSL untuk \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\)
• \((x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=R^2\)
• \(y-b=m(x-a)\pm R\sqrt{m^2+1}\)
3. PGSL untuk \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\)
   \(x_1x+y_1y+\frac{1}{2}A(x+x_1)+\frac{1}{2}B(y+y_1)+C=0\)

Panjang Garis Singgung 2 Lingkaran

• Garis singgung luar

$$GL=\sqrt{l^2-(R-r)^2}$$

• Garis singgung dalam

$$GD=\sqrt{l^2-(R+r)^2}$$

Logika Matematika

Tabel Kebenaran

Negasi

1. \(\neg B= S\)
2. \(\neg S= B\)
3. \(\neg \forall = \exists \)
4. \(\neg \exists = \forall \)
5. \(\neg (p \Rightarrow q)=p\wedge\neg q\)

Ekuivalensi

• \((p\Rightarrow q) \equiv (\neg q \Rightarrow \neg q) \equiv (\neg p \vee q)\)
• \(\neg (p\vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q\)
• \(\neg (p\wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q\)
• \(\neg (p\Rightarrow q)\equiv p\wedge \neg q\)

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Diketahui \(p\Rightarrow q\) (implikasi), maka:

• Konver: \(q\Rightarrow p\)
• Invers: \(\neg p \Rightarrow \neg q\)
• Kontraposisi: \(\neg q \Rightarrow \neg p\)

Penarikan Kesimpulan

• Modus Ponen

$$ \begin{align} &p \Rightarrow q\\ &\underline{p \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ &\therefore q \end{align} $$

• Modus Tollen

$$ \begin{align} &p \Rightarrow q\\ &\underline{ \ \ \ \ \ \ \ \neg q} \\ &\therefore \neg p \end{align} $$

• Sillogisme

$$ \begin{align} &p \Rightarrow q\\ &\underline{q \Rightarrow r} \\ &\therefore p \Rightarrow r \end{align} $$

Suku Banyak

Bentuk Umum

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{x-1}+\ldots+a_1x+a_0$$

Keterangan: \(n=\) derajat suku banyak

Pembagian Suku Banyak

$$f(x)=h(x)\cdot p(x)+s(x)$$

\(f(x)=\) suku banyak

\(h(x)=\) hasil bagi

\(p(x)=\) pembagi

\(s(x)=\) sisa

Teorema Sisa

• Jika suatu suku banyak \(f(x)\) dibagi oleh \((x-k)\), maka sisanya adalah \(f(x)\)
• Jika pembagi berderajat \(n\) maka sisanya berderajat \(n-1\)
• Jika suku banyak berderajat \(m\) dan pembagi berderajat \(n\), maka hasil baginya berderajat \((m-n)\)

Teorema Vieta

• Jumlah 1 akar \((x_1+x_2+\ldots+x_n)=\dfrac{-b}{a}\)
• Jumlah 2 akar \((x_1x_2+x_1x_3+\ldots)=\dfrac{c}{a}\)
• Jumlah 3 akar \((x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+\ldots)=\dfrac{-d}{a}\)
• Selanjutnya, ikuti pola

Fungsi

Domain

Daerah asal dari suatu fungsi

• \(f(x)=\sqrt{a}\) domainnya adalah \(a>=0\)
• \(f(x)=\dfrac{a}{b}\) domainnya adalah \(b\neq0\)
• \(f(x)=\log_{a}{b}\) domainnya adalah \(a>0,a\neq1,b>0\)

Fungsi Invers

Invers dari \(f(x)\) dinotasikan sebagai \(f^{-1}(x)\)

$$f(x)=y \Rightarrow f^{-1}(y)=x$$

• \(f(x)=ax+b\Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a}\)
• \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{-dx+b}{cx-a}\)
• $$f(x)=a^{bx+c}\Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{log_{a}{(x)}-c}{b}$$
• \(f(x)=\log_{a}{(bx+c)}\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{a^x-c}{b}\)

Fungsi Komposisi

• $$(f\circ g)(x)= f(g(x))$$
• $$(f^{-1})^{-1}(x)=f(x)$$
• $$(f\circ g)^{-1}(x)=g^{-1}\circ f^{-1}(x)$$
• $$f^{-1}\circ f(x)=f \circ f^{-1}(x)=x$$

Limit

Sifat Limit

Jika fungsi memiliki limit, maka

• $$ \lim_{x\to a}k=k$$
• $$ \lim_{x\to a}x=a$$
• $$ \lim_{x\to a}k\cdot f(x)=k\cdot \lim_{x\to a} f(x) $$
• $$ \lim_{x\to a}\left[f(x)\pm g(x)\right]= \lim_{x\to a} f(x) \pm \lim_{x\to a} g(x) $$
• $$ \lim_{x\to a}\left[f(x)\cdot g(x)\right]= \lim_{x\to a} \cdot \lim_{x\to a} g(x)$$
• $$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)} \ \ , \lim_{x\to a}g(x)\neq 0 $$
• $$ \lim_{x\to a}\left(f(x)\right)^n = \left(\lim_{x\to a}f(x)^n\right)$$
• $$ \lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}$$

Limit Dengan Bentuk $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}$$

Misal untuk: \(\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+8x-9}{x^2-1}= \ldots\)

• Metode Pemfaktoran

Memfaktorkan pembilang dan penyebut, maka

$$ \begin{align} &=\lim_{x\to 1} \frac{(x+9)(x-1)}{(x+1)(x-1)}\\ &=\lim_{x\to 1} \frac{(x+9)}{(x+1)}\\ &=5 \end{align} $$

• Metode L'hopital

Mendifferensiasikan pembilang dan penyebut

$$ \begin{align} &=\lim_{x\to 1} \frac{2x+8}{2x}\\ &=5 \end{align} $$

Limit Dengan Bentuk \(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\infty}{\infty}\)

$$\lim_{x\to \infty}\frac{a_1x^m+a_2x^{m-1}+\ldots+a_m}{b_1x^n+b_2x^{n-1}+\dots+b_n}=$$

Penyelesaian, jika:

• \(m>n\), maka $$\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\infty$$
• \(m=n\), maka $$\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_1}{b_1}$$
• \(m<n\), maka $$\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0$$

Limit Dengan Bentuk \(\lim\limits_{x\to \infty}\left(f(x)-g(x)\right)=\infty-\infty\)

$$\lim_{x\to\infty} \left(\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}\right)=\ldots$$

Penyelesaian, jika:

• \(a>p\), maka $$\lim_{x\to\infty} \left(f(x)-g(x)\right)=\infty$$
• \(a=p\), maka $$\lim_{x\to\infty} \left(f(x)-g(x)\right)=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$$
• \(a<p\), maka $$\lim_{x\to\infty} \left(f(x)-g(x)\right)=-\infty$$

Limit Trigonometri

• $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{bx}=\lim_{x\to 0} \frac{ax}{\sin(bx)}=\frac{a}{b}$$
• $$\lim_{x\to 0} \frac{\tan(ax)}{bx}=\lim_{x\to 0} \frac{ax}{\tan(bx)}=\frac{a}{b}$$
• $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{\tan(bx)}=\lim_{x\to 0} \frac{\tan(ax)}{\sin(bx)}=\frac{a}{b}$$

Persamaan yang sering digunakan

• $$1-\cos(A)=2\sin^2\left(\frac{A}{2}\right)$$
• $$1-\cos^2(A)=\sin^2(A)$$
• $$\cos(A)=\frac{\sin(A)}{\tan(A)}$$

Statistika

Rata-Rata/Mean

$$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$$

$$\bar{x}=x_s+\frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}=x_0+\left(\frac{\sum f_i ci}{\sum f_i}\right)p$$

Note:

\(\bar{x}=\) Rata-rata

\(x_s=\) Rata-rata sementara

\(x_0=\) Tanda kelas

\(f=\) Frekuensi

\(d=\) Deviasi \(d_i=x_i-x_s\)

\(p=\) Panjang kelas

\(c=\) Sandi tanda kelas, \(c=0\) untuk \(x_0\)

Modus

$$M_0=t_{mo}+\left(\frac{L_1}{L_1+L_2}\right)p$$

Note:

\(M_o=\) Modus

\(t_{mo}=\) Tepi bawah kelas modus

\(L_1=f\) kelas modus - \(f\) kelas sebelumnya

\(L_2=f\) kelas modus - \(f\) kelas sesudahnya

Median

$$M_e=t_{me}+\left(\frac{\frac{n}{2}-f_k}{f_me}\right)p$$

Note:

\(M_e=\) Median

\(t_{me}=\) Tepi bawah kelas median

\(f_k=\) Frekuensi kumulatif sebelum kelas median

\(f_{me}=\) Frekuensi kelas median

Kuartil

$$Q_i=t_q+\left(\frac{\frac{i}{4}n -f_k}{f_q}\right)p$$

Note:

\(Q_i =\) Kuartil ke-i

\(t_q =\) Tepi bawah kelas kuartil

\(f_q =\) Frekuensi kelas kuartil

Untuk desil: \(\frac{i}{10}n\)

Untuk persentil: \(\frac{i}{100}n\)

Ukuran Penyebaran

• Jangkauan

$$J=x_{besar}-x_{kecil}$$

• Ragam

$$R=\frac{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n}$$

• Simpangan baku

$$S=\sqrt{\frac{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n}}$$

• Simpangan rata-rata

$$S_R=\frac{\sum |x_i-\bar{x}|}{n}$$

• Simpangan kuartil

$$Q_d=\frac{1}{2}(Q_3-Q_1)$$

Peluang

Kombinatorik

Jika suatu masalah diselesaikan dengan \(m\) cara dan masalah lain dengan \(n\) cara, maka gabungannya dapat diselesaikan dengan \(m\times n\) cara.

Contoh: Ada 2 baju dan 3 celana, banyaknya cara berpakaian yang mungkin adalah \(2\times 3 = 6\) cara

Permutasi

Susunan elemen dalam urutan tanpa ada pengulangan elemen

\(n!=1\times 2\times \ldots \times (n-1) \times n\) dan \(0!=1\)

• Permutasi \(n\) elemen dari \(n\) elemen

$$P^n_n=n!$$

• Permutasi \(r\) elemen dari \(n\) elemen

$$P^n_r=\frac{n!}{(n-r)!}$$

• Permutasi dari elemen yang sama

$$P^n_{(k,l,m)}=\frac{n!}{k!l!m!}$$

• Permutasi siklis

$$P^n_S=(n-1)!$$

Kombinasi

Susunan dari semua/sebagian elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan

$$C^n_r=\frac{n!}{(n-r)!r!}$$

Penyebaran Binomial, pola bilangan Segitiga Pascal

$$\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}C^n_ka^{n-k}b^k$$

Frekuensi Harapan

$$F(A)=n\cdot P(A)$$

Barisan dan Deret

Deret Aritmatika

$$b=U_n-U_{n-1}$$

$$b=\frac{U_n-U_p}{n-p}$$

• $$U_n=a+b(n-1)$$
• $$U_n=U_p+b(n-p)$$
• $$U_n=S_n-S_{n-1}$$
• $$S_n=\frac{n}{2}\left(a+U_n\right)=\frac{n}{2}\left(2a+b(n-1)\right)$$
• $$U_t=\frac{a+U_n}{2}$$

Deret Geometri

$$r=\frac{U_n}{U_n-1}$$

$$r=\sqrt[n-p]{\frac{U_n}{U_p}}$$

$$U_n=a\cdot r^{n-1}$$

$$U_n=U_p\cdot r^{n-p}$$

$$S_n=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}$$

$$U_t=\sqrt{a\cdot U_n}$$

Deret Geometri Tak Hingga

1. Divergen

$$r\leq -1 \cup r\geq 1$$

Jumlah deret ini tidak bisa ditentukan

2. Konvergen

$$-1 < r < 1$$

$$S_\infty = \frac{a}{1-r}$$

• Deret tak hingga ganjil

$$U_1+U_3+U_5+\ldots=\frac{a}{1-r^2}$$

• Deret tak hingga genap

$$U_2+U_4+U_6+\ldots=\frac{ar}{1-r^2}$$

Matematika Keuangan

Bunga

• Bunga Tunggal

$$I=M\times i\times n$$

\(I=\) Bunga yang diperoleh

\(M=\) Modal awal

\(i=\) Presentasi bunga

\(n=\) Jangka waktu

• Bunga Majemuk

$$M_n=M(1+i)^n$$

\(M_n=\) Modal setelah dibungakan

\(M=\) Modal awal

\(i=\) Persentase bunga

\(n=\) Jangka waktu

Anuitas

• Anuitas

$$A=\frac{M\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}$$

\(A=\) Anuitas

\(M=\) Pinjaman

\(i=\) Bunga

\(n=\) Periode pinjaman

• Angsuran

$$a_n=a_1 \left(1+i \right)^{n-1}$$

\(a_1=\) Angsuran pertama

\(a_n=\) Angsuran ke-\(n\)

\(i=\) Bunga

\(n=\) Periode pinjaman

• Sisa

$$S_n=\frac{b_{n+1}}{i}$$

\(S_n=\) Sisa pembayaran

\(b=\) Bunga periode

\(i=\) Bunga

Logaritma

$$a^c=b$$

$$\log_a(b)=c,\ a > 0,\ a\neq 0,\ b> 0$$

Sifat-Sifat Logaritma

• $$\log_a{a}=1$$
• $$\log_a{bc}=\log_a{b}+\log_a{c}$$
• $$\log_a{\frac{b}{c}}=\log_a{b}-\log_a{c}$$
• $$\log_{a^n}{b^m}=\frac{m}{n}\log_a{b}$$
• $$\log_a{b}=\frac{1}{\log_b{a}}$$
• $$\log_a{b}=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$$
• $$a^{\log_a{b}}=b$$
• $$a^{\log_b{c}}=c^{\log_b{a}}$$
• $$\log_a{b} \cdot \log_b{c}=\log_a{c}$$

Trigonometri

Sudut Istimewa

Setiap gais merah membentuk sudut kelipatan 30° dan garis hijau kelipatan 45°. Contoh

1. $$\sin(60°)=\ldots$$


Pada gambar, \(\sin\) terletak di sebelah kiri, maka hitunglah 60° dari sebelah kiri sehingga diperoleh \(\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\)

2. $$\cos(150°)=\ldots$$


Pada gambar, \(\sin\) terletak di sebelah kanan, maka hitunglah 150° dari sebelah kanan sehingga diperoleh \(-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\) (negatif karena di kuadran 2)

• $$ \begin{align} \sin(x)&=\sin(\alpha)\\ x&=\alpha \pm k\cdot 360 °\\ x&=(180-\alpha)\pm k \cdot 360 ° \end{align} $$
• $$ \begin{align} \cos(x)&=\cos(\alpha)\\ x&=\alpha \pm k\cdot 360 °\\ x&=-\alpha \pm k \cdot 360 ° \end{align} $$
• $$ \begin{align} \tan(x)&=\tan(\alpha)\\ x&=\alpha \pm k\cdot 180 ° \end{align} $$

Aturan Segitiga Siku-Siku

$$\sin(\alpha)=\frac{a}{c}=\frac{\text{depan}}{\text{miring}}$$

$$\cos(\alpha)=\frac{b}{c}=\frac{\text{samping}}{\text{miring}}$$

$$\tan(\alpha)=\frac{a}{c}=\frac{\text{depan}}{\text{samping}}$$

Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Sudut Kembar

Jumlah dan Selisih Fungsi

Perkalian

Sudut Paruh

Persamaan Trigonometri

Vektor

Vektor Posisi

Vektor Satuan

Panjang Vektor

Operasi Vektor

Proyeksi Ortogonal

Turunan

Rumus-Rumus Dasar

Rumus-Rumus Lanjutan

Chain Rule

\(y=f(u)\ \ \ \ \ \ \ \ \ u=u(x)\)

$$\frac{dy}{dx}=\frac{df(u)}{du}\cdot \frac{du}{dx}=f'(x) \frac{du}{dx}$$

Contoh:

Jika \(y=\sin\left(x^2+3\right)\) tentukan \(\frac{dy}{dx}\)

Misalkan \(u=x^2+3\) sehingga \frac{du}{dx}=2x

$$ \begin{align} \frac{dy}{dx}&=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\\ &=\cos(u) \cdot 2x\\ &=2x \cos(x^2+3) \end{align} $$

Aplikasi Turunan

• Gradien kurva pada titik \((a,b)\) \(m=f'(a)\)
• Fungsi turun : \(f'(x)<0\)
• Fungsi naik : \(f'(x)>0\)
• Maks : \(f'(x)=0;\ f''(x)<0\)
• Min : \(f'(x)=0;\ f''(x)>0\)
• Titik belok : \(f''(x)=0\)

Integral

Integral Fungsi Aljabar

Sifat Linear Integral

Integral Tentu

Sifat-Sifat Integral Tentu

Rumus-Rumus Integral

Integral Parsial

Integral Subtitusi

$$\int f \big( g(x) \big) \Big) \bigg) \Bigg) g'(x) \,dx$$

Misalkan \(\)

Menentukan Luas Daerah

• $$L=\int_{a}^b \Left( y_{atas} - y_{bawah} \Right) \,dx$$
• $$L=\int_{a}^b \Left( y_{kanan} - y_{kiri} \Right) \,dy$$

Menentukan Volume

• $$V_x=\pi \int_{a}^b \Left( y_{atas}^2 - y_{bawah}^2\Right) \,dx$$
• $$V_y=\pi \int_{a}^b \Left( y_{kanan}^2 - y_{kiri}^2\Right) \,dy$$

Matriks

Ordo Matriks

Operasi Matriks

Determinan Matriks

Sifat Determinan Matriks

1. \(\text{det}(A^T)=\text{det}(A)\)
2. \(\text{det}(A^{-1})=\frac{1}{\text{det}(A)}\)
3. \(\text{det}(kA)=k^n\cdot \text{det}(A)\)
4. \(\text{det}(A\cdot B)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)\)
5. \(\text{det}(A^k)=(\text{det}(A))^k\)

Matriks Transpos

Invers Matriks

Persamaan Matriks

$$ \begin{align} A\cdot B &= C A &= C\cdot B^{-1} B &= A^{-1}\cdot C \end{align} $$

Transformasi Geometri

Translasi

Rotasi

Refleksi

Dilatasi